Pré-calcul Exemples

$\tan^{3} (x) = \tan (x)$

Étape 1

Soustrayez $\tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{3} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) - \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Étape 2.3

Factorisez.

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Étape 2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = 1$ .

$\tan (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 5.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 5.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\tan (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (x) - 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 1$

Étape 6.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.4

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.2.5.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $π n$ et $π + π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{3 π}{4} + π n$ et $\frac{π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.3

Consolidez $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$