Pré-calcul Exemples

$e^{x} - 9 + 20 e^{- x} = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} - 9 + 20 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u - 9 + 20 u^{- 1} = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 9 + 20 (\frac{1}{u}) = 0$

Étape 3.2

Associez $20$ et $\frac{1}{u}$ .

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ par $u$ .

$u \cdot u - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 9 u + 20 = 0 u$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $u^{2} - 9 u + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 4.3.4

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 4.3.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 5) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = 5, 4$

Étape 5

Remplacez $u$ par $5$ dans $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $5 = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (5)$

Étape 7

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $4 = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Étape 8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Étape 8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Étape 8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (4)$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (5), \ln (4)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (5), \ln (4)$

Forme décimale :

$x = 1.60943791 \dots, 1.38629436 \dots$