Pré-calcul Exemples

$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{4 x}$ comme ${(e^{2 x})}^{2}$ .

${(e^{2 x})}^{2} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = e^{2 x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{2 x}$ par $u$ .

$u^{2} + 4 u - 32 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 4 u - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 8) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{2 x}$ .

$(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

$e^{2 x} + 8 = 0$

Étape 3

Définissez $e^{2 x} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $e^{2 x} - 4$ égal à $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $e^{2 x} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{2 x} = 4$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (4)$

Étape 3.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1

Développez $\ln (e^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$2 x \ln (e) = \ln (4)$

Étape 3.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 x \cdot 1 = \ln (4)$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x = \ln (4)$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = \ln (4)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \ln (4)$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.3.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{\ln (2^{2})}{2}$

Étape 3.2.4.3.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Étape 3.2.4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Étape 3.2.4.3.3.2

Divisez $\ln (2)$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 4

Définissez $e^{2 x} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{2 x} + 8$ égal à $0$ .

$e^{2 x} + 8 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{2 x} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$e^{2 x} = - 8$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (- 8)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 8)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{2 x} = - 8$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$ vraie.

$x = \ln (2)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (2)$

Forme décimale :

$x = 0.69314718 \dots$