Pré-calcul Exemples

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $u^{2} - 4 u - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 3.5

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 5) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 5, - 1$

Étape 4

Remplacez $u$ par $5$ dans $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $5 = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (5)$

Étape 6

Remplacez $u$ par $- 1$ dans $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $- 1 = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Étape 7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 1)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 1$

Aucune solution

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (5)$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (5)$

Forme décimale :

$x = 1.60943791 \dots$