Pré-calcul Exemples

$\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 - 4 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) + 2 (- 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$7 ((x - 2) (x + 5)) = (2 - x) (2 (5 - 2 x))$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $7 (x - 2) (x + 5)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 7 (x - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(7 x + 7 \cdot - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$(7 x - 14) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.3

Développez $(7 x - 14) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x (x + 5) - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x^{2} + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.4.1.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.4.1.3

Multipliez $- 14$ par $5$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.1.4.2

Soustrayez $14 x$ de $35 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Étape 3.2

Simplifiez $(2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 \cdot 5 + 2 (- 2 x))$

Étape 3.2.1.2

Multipliez.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 + 2 (- 2 x))$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 - 4 x)$

Étape 3.2.2

Développez $(2 - x) (10 - 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 (10 - 4 x) - x (10 - 4 x)$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x (10 - 4 x)$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - x (- 4 x)$

Étape 3.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x \cdot x$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 (x \cdot x)$

Étape 3.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x^{2}$

Étape 3.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x + 4 x^{2}$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 8 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 18 x + 4 x^{2}$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $18 x$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20 + 4 x^{2}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x - 4 x^{2} = 20$

Étape 3.3.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20$

Étape 3.3.4

Additionnez $21 x$ et $18 x$ .

$3 x^{2} + 39 x - 70 = 20$

Étape 3.4

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 39 x - 70 - 20 = 0$

Étape 3.5

Soustrayez $20$ de $- 70$ .

$3 x^{2} + 39 x - 90 = 0$

Étape 3.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 39 x - 90$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 39 x - 90 = 0$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $39 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (13 x) - 90 = 0$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 90$ .

$3 x^{2} + 3 (13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Étape 3.6.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (13 x)$ .

$3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30$ .

$3 (x^{2} + 13 x - 30) = 0$

Étape 3.6.2

Factorisez.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 13 x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $13$ .

$- 2, 15$

Étape 3.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 2) (x + 15)) = 0$

Étape 3.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 2) (x + 15) = 0$

Étape 3.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 15 = 0$

Étape 3.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.9

Définissez $x + 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.9.1

Définissez $x + 15$ égal à $0$ .

$x + 15 = 0$

Étape 3.9.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 15$

Étape 3.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 2) (x + 15) = 0$ vraie.

$x = 2, - 15$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$ vrai.

$x = - 15$