Pré-calcul Exemples

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

Étape 1

Réécrivez $5^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

Étape 2

Remplacez $5^{x}$ par $u$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Étape 3.2

Associez $125$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} = 30$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{125}{u} = 30$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{125}{u} = 30$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 125 = 30 u$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $30 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez $u^{2} + 125 - 30 u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $125$ et dont la somme est $- 30$ .

$- 25, - 5$

Étape 4.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Étape 4.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $u - 25$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $u - 25$ égal à $0$ .

$u - 25 = 0$

Étape 4.3.4.2

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 25$

Étape 4.3.5

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.5.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 4.3.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 4.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 25) (u - 5) = 0$ vraie.

$u = 25, 5$

Étape 5

Remplacez $u$ par $25$ dans $u = 5^{x}$ .

$25 = 5^{x}$

Étape 6

Résolvez $25 = 5^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = 25$ .

$5^{x} = 25$

Étape 6.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{x} = 5^{2}$

Étape 6.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 7

Remplacez $u$ par $5$ dans $u = 5^{x}$ .

$5 = 5^{x}$

Étape 8

Résolvez $5 = 5^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = 5$ .

$5^{x} = 5$

Étape 8.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{x} = 5^{1}$

Étape 8.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 2, 1$