Pré-calcul Exemples

$\frac{\sin (a)}{1 - \cot (a)} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ par $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ par $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

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Étape 6.2.1

Associez $\sin (a)$ et $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.2.2

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.2.3

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{\sin (a)}^{1 + 1}}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (a)$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - 1 \cdot \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.4

Réécrivez $- 1 \sin (a)$ comme $- \sin (a)$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7

Multipliez $- \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.2

Multipliez $\cos (a)$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.3

Associez $\cos (a)$ et $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.4

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.5

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{{\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 6.7.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\sin^{2} (a)$ .

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.2

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \cdot \frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.3

Convertissez de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ à $\tan (a)$ .

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.4

Divisez $\sin (a)$ par $1$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.5

Factorisez $\cos (a)$ à partir de $\cos^{2} (a)$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.6

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cdot \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.7

Convertissez de $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ à $\cot (a)$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 7.8

Divisez $\cos (a)$ par $1$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Convertissez de $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ à $\cot (a)$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

Étape 8.2

Convertissez de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ à $\tan (a)$ .

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\tan (a) - 1)}$