Pré-calcul Exemples

$\frac{4}{2 - 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4}{2 - 3 i}$ par le conjugué de $2 - 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{4 (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{8 + 12 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 + 12 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.9

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 0 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 \cdot - 1} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 9} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{8 + 12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{8 + 12 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 1.5

Multipliez.

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Étape 1.5.1

Associez.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 1.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 1.5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 1.5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 1.5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 1.5.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 1.5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 1.5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 1.5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 1.5.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 1.5.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - - 1}$

Étape 1.5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1}$

Étape 1.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{2}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $2 - 2 i$ et $2$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2}$

Étape 1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2}$

Étape 1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2}$

Étape 1.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 (1)}$

Étape 1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{1 - i}{1}$

Étape 1.6.4.4

Divisez $1 - i$ par $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + 1 - i$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{8}{13} + \frac{13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Étape 2.3

Additionnez $8$ et $13$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Étape 3

Pour écrire $- i$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i \cdot \frac{13}{13}$

Étape 4

Associez $- i$ et $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{- i \cdot 13}{13}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21}{13} + \frac{- i}{13}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{21}{13} - \frac{i}{13}$