Pré-calcul Exemples

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3

Multipliez $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{7 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Multipliez $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ comme $- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.70710678 \dots$