Pré-calcul Exemples

$\sin (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$(\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (\frac{13 π}{12}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{13 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- \cos (\frac{π}{12})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.4

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.10

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.11

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.14

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.15

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.5.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.5.3

Additionnez $2$ et $6$ .

$- \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.7.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.7.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{13 π}{12})$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{13 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{12}))$

Étape 1.8.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Étape 1.8.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 1.8.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 1.8.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 1.8.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 1.8.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 1.8.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.8.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.8.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 1.8.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 1.8.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 1.8.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 1.8.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Étape 1.8.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Étape 1.8.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 1.9

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$ .

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Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.9.2

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.9.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.9.4

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.9.5

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.9.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.9.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.9.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Étape 1.10

Réécrivez ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.12.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.12.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 1.12.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.12.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 1.12.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.12.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.13.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.13.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Étape 1.12.1.13.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Étape 1.12.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Étape 1.12.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Étape 1.12.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.12.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Étape 1.12.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Étape 1.12.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 1.12.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.12.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 1.12.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Étape 1.12.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Étape 1.12.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.12.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.13

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 1.13.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Étape 1.13.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Étape 1.13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 1.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (2 + \sqrt{3}) + 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (2)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.86602540 \dots$