Pré-calcul Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 5$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 5$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 5$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 5$

Étape 1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 5$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{5}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{2} + 2 x) = 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{5} = x^{2} + 2 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 2 x = e^{5}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{5}$

Étape 4.2

Soustrayez $e^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - e^{5} = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - e^{5}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{5}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Réécrivez $4 + 4 e^{5}$ comme $2^{2} (1 + e^{5})$ .

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Étape 4.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{5}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (e^{5})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{5}}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{5}}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{1 + e^{5}}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{5}}, - 1 - \sqrt{1 + e^{5}}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) + \ln (x + 2) = 5$ vrai.

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{5}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{5}}$

Forme décimale :

$x = 11.22346755 \dots$