Pré-calcul Exemples

$\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 2$ plus $- 3$

$3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 2) - (3 x - 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{3}, 1$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{2}{3} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{2}{3} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.83$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0.83$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0.83)}^{2} - 5 \cdot 0.83 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 0.0833$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $30$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{2}{3}$ Vrai

$\frac{2}{3} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < \frac{2}{3}$ Vrai

$\frac{2}{3} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{2}{3}$ ou $x \geq 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{2}{3}] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq \frac{2}{3}, x \geq 1}$

Étape 4