Pré-calcul Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} + 2 x - 3)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} + 2 x - 3)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 2 x - 3 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 3 > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $21$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 2 (0) - 3 > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} + 2 (4) - 3 > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $21$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $x > 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 3, x > 1}$

Étape 4