Pré-calcul Exemples

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \geq - 1$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez les deux côtés par $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x = - (1 - x^{2})$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez $- (1 - x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x = - 1 - - x^{2}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x = - 1 + 1 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$2 x = - 1 + x^{2}$

Étape 2.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $x^{2}$ .

$2 x = x^{2} - 1$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} = - 1$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 2.3.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 2.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 2.4

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1$ .

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Étape 2.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 2.4.2.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4.2.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 2.4.2.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.4.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 2.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1$

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 4)}{1 - {(- 4)}^{2}} \geq - 1$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $0.5\overline{3}$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.71$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.71$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 0.71)}{1 - {(- 0.71)}^{2}} \geq - 1$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $- 2.86348054$ est inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \geq - 1$

Étape 2.6.3.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.6.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (2)}{1 - {(2)}^{2}} \geq - 1$

Étape 2.6.4.3

Le côté gauche $- 1.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.6.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.6.5.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (5)}{1 - {(5)}^{2}} \geq - 1$

Étape 2.6.5.3

Le côté gauche $- 0.41\overline{6}$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Faux

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Vrai

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{2}$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Faux

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Vrai

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{2}$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $1 - \sqrt{2} \leq x < 1$ ou $x \geq 1 + \sqrt{2}$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \leq 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x = 1 (1 - x^{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez $1 (1 - x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$2 x = 1 - x^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$2 x = - x^{2} + 1$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x + x^{2} = 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + x^{2} - 1 = 0$

Étape 4.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Étape 4.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1$ .

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Étape 4.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 4.4.2.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 4.4.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.4.2.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.2.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 4.4.2.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 4.4.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 4.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 4.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1 - \sqrt{2}$

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 5)}{1 - {(- 5)}^{2}} \leq 1$

Étape 4.6.1.3

Le côté gauche $0.41\overline{6}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2)}{1 - {(- 2)}^{2}} \leq 1$

Étape 4.6.2.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \leq 1$

Étape 4.6.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.71$

Étape 4.6.4.2

Remplacez $x$ par $0.71$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0.71)}{1 - {(0.71)}^{2}} \leq 1$

Étape 4.6.4.3

Le côté gauche $2.86348054$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.6.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.6.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (4)}{1 - {(4)}^{2}} \leq 1$

Étape 4.6.5.3

Le côté gauche $- 0.5\overline{3}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Vrai

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Vrai

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Vrai

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Vrai

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1 - \sqrt{2}$ ou $- 1 < x \leq - 1 + \sqrt{2}$ ou $x > 1$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - x^{2} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1 - \sqrt{2}] \cup [1 - \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 + \sqrt{2}, x \geq 1 + \sqrt{2}}$

Étape 8