Pré-calcul Exemples

$\sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ . Ainsi, $\sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Étape 2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}))}}$

Étape 2.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Étape 2.3.4.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Étape 2.3.4.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1}})}}$

Étape 2.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1}})}}$

Étape 2.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}})}}$

Étape 2.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ comme $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}}$

Étape 2.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}}$

Étape 2.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}})}}$

Étape 2.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}})}}$

Étape 2.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{1}})}}$

Étape 2.3.4.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4})}}$

Étape 2.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 4} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4})}}$

Étape 2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}} \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ comme $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.5.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.7

Multipliez $\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Étape 2.7.1

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.7.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ comme $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.8.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}$ par $\frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)}}}$

Étape 2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Élevez $x^{2} + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1} (x^{2} + 4)}}}$

Étape 2.10.2

Élevez $x^{2} + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1} {(x^{2} + 4)}^{1}}}}$

Étape 2.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1 + 1}}}}$

Étape 2.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ comme ${(\frac{1}{x^{2} + 4})}^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}}}$

Étape 2.11.2

Factorisez la puissance parfaite ${(x^{2} + 4)}^{2}$ dans ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1}}}$

Étape 2.11.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2} + 4})}^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}}$

Étape 2.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{x^{2} + 4} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 2.13

Associez $\frac{1}{x^{2} + 4}$ et $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{x^{2} + 4}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ par $\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ .

$\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1} {\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1}}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez ${\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{2}$ comme $(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})$ .

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Étape 6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ comme ${((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{({((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{1}}$

Étape 6.6.5

Simplifiez

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$

Étape 7

Multipliez $\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ par $\frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}$

Étape 8

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$

Étape 9

Remettez dans l’ordre.

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Étape 9.1

Déplacez $x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}$

Étape 9.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + x^{3} (- \sqrt{x^{2} + 4}) + 4 x^{2} + 16 - 4 (x \sqrt{x^{2} + 4}) + x^{3} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4} \cdot 4 + x^{2} (- {\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}))}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 + 0 - 4 x^{2})}$

Étape 9.3.2

Additionnez $4 x^{2} + 4 x^{2} + 16$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 - 4 x^{2})}$

Étape 9.3.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16 + 0)}$

Étape 9.3.4

Additionnez $4 x^{2} + 16$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 x^{2} + 16}$

Étape 11

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 16$ .

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Étape 11.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2}) + 16}$

Étape 11.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 x^{2} + 4 \cdot 4}$

Étape 11.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2} + 4)}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2} + 4)}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4}$