Pré-calcul Exemples

${(- 1 + \sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 + 3 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{1} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 \cdot - 1) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 3 (3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 \cdot - 3 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Étape 2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {\sqrt{3}}^{3} i^{3}$

Étape 2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{3}} i^{3}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{27} i^{3}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.12.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{9 (3)} i^{3}$

Étape 2.1.12.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}$

Étape 2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} i^{3}$

Étape 2.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

Étape 2.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- i)$

Étape 2.1.17

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 - 3 \sqrt{3} i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$3 \sqrt{3} i + 8 - 3 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{3} i$ de $3 \sqrt{3} i$ .

$0 + 8$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$