Pré-calcul Exemples

$\frac{7}{y + 1} > 7$

Étape 1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{7}{y + 1} - 7$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 7$ et $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 - 7 (y + 1)$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7 (y + 1)$ .

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ .

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.5

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.6

Associez les exposants.

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Étape 2.4.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 7 y = 0$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 7 y = 0$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{- 7}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 7$ .

$y = 0$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$y = 0$

$y = - 1$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$y = 0, - 1$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{7 y}{y + 1}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7 y}{y + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $y$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 2.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < y < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < y < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 0.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $y$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $y$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $2.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - 1$ Faux

$- 1 < y < 0$ Vrai

$y > 0$ Faux

$y < - 1$ Faux

$- 1 < y < 0$ Vrai

$y > 0$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < y < 0$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < y < 0$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 0)$

Étape 13