Pré-calcul Exemples

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (a) \sin (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (a) \cos (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3.4

Réécrivez $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ comme $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\cot (b) - \tan (a)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Écrivez $\cot (b)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \tan (a)$

Étape 5.2

Écrivez $\tan (a)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Étape 6

Soustrayez des fractions.

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Étape 6.1

Pour écrire $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Étape 6.2

Pour écrire $- \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (b) \cos (a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ par $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ par $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 6.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (b) \cos (a)$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (b) \cos (a) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (a) \sin (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (a) \cos (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ comme $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$ est une identité