Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}})$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{e^{2}} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt[3]{e^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1 + 2}})$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}})$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}$ comme $e^{2}$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{e^{2}}$ comme $e^{\frac{2}{3}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{(e^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Étape 2.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{6}{3}}})$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{1}}})$

Étape 2.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{2}})$

Étape 3

Placez $e^{2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$

Étape 4

Réécrivez $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$ comme $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$

Étape 5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 2$ de l’exposant.

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \ln (e)$

Étape 6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2$

Étape 8

Développez $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Forme décimale :

$- 0.\overline{6}$