Pré-calcul Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Étape 3.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.2.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Étape 3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Étape 3.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Étape 3.2.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$