Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez la limite de $30$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + 5 - 1 \cdot 30}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 1 \cdot 30}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 30}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $25$ et $5$ .

$\frac{0}{30 - 30}$

Étape 1.1.3.5.3

Soustrayez $30$ de $30$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x - 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 1}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 1}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 \frac{5}{10 + 1}$

Étape 4.1.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$2 (\frac{5}{11})$

Étape 4.2

Multipliez $2 (\frac{5}{11})$ .

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Étape 4.2.1

Associez $2$ et $\frac{5}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{11}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10}{11}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10}{11}$

Forme décimale :

$0.\overline{90}$