Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 11}^{30} n$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $n$ égale à $1$ .

$\sum_{n = 11}^{30} n = \sum_{n = 1}^{30} n - \sum_{n = 1}^{10} n$

Étape 2

Évaluez $\sum_{n = 1}^{30} n$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $30 (30 + 1)$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

Étape 2.3.1.2.4

Divisez $15 (30 + 1)$ par $1$ .

$15 (30 + 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$15 \cdot 31$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $15$ par $31$ .

$465$

Étape 3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{10} n$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Étape 3.3.1.2.4

Divisez $5 (10 + 1)$ par $1$ .

$5 (10 + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$5 \cdot 11$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $5$ par $11$ .

$55$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$465 - 55$

Étape 5

Soustrayez $55$ de $465$ .

$410$