Pré-calcul Exemples

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x - 2224 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $2224$ aux deux côtés de l’équation.

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $36 y^{2} - 144 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 36$

$b = - 144$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 144}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 144$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 144$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 (36)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 72}{36}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $- 72$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 144)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 144$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $20736$ par $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$e = 0 - 144$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144$

Étape 1.3

Remplacez $36 y^{2} - 144 y$ par $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ dans l’équation $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144 - 64 x^{2} - 128 x = 2224$

Étape 1.4

Déplacez $- 144$ du côté droit de l’équation en ajoutant $144$ des deux côtés.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 x^{2} - 128 x = 2224 + 144$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 64 x^{2} - 128 x$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 64$

$b = - 128$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 64}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 128$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 64)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 64$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 64}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 128$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 64}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 256}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $16384$ par $- 256$ .

$e = 0 - - 64$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$e = 64$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ .

$- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$

Étape 1.6

Remplacez $- 64 x^{2} - 128 x$ par $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ dans l’équation $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} + 64 = 2224 + 144$

Étape 1.7

Déplacez $64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2224 + 144 - 64$

Étape 1.8

Simplifiez $2224 + 144 - 64$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $2224$ et $144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2368 - 64$

Étape 1.8.2

Soustrayez $64$ de $2368$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2304$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $2304$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{36 {(y - 2)}^{2}}{2304} - \frac{64 {(x + 1)}^{2}}{2304} = \frac{2304}{2304}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{64} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{36} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 2$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Étape 5.3.3

Additionnez $64$ et $36$ .

$\sqrt{100}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$10$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 10)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - 6)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 12)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - 8)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $64$ et $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10}{8}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $8$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{8}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{6^{2}}{10}$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{36}{10}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{2 (18)}{10}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Étape 11.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Étape 12.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 1, 2)$

Sommets : $(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Foyers : $(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Excentricité : $\frac{5}{4}$

Paramètre focal : $\frac{18}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 15