Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 3 y - x + 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y - x + 4 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x + 4 = - y^{2} + 3 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - y^{2} + 3 y - 4$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (3 y)$ comme $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.1.6

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $y^{2} - 3 y + 4$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 4$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$e = 4 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 4 - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{4 \cdot 4 - 9}{4}$

Étape 1.2.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = \frac{16 - 9}{4}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Soustrayez $9$ de $16$ .

$e = \frac{7}{4}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{7}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, \frac{3}{2})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = \frac{3}{2}$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Foyer : $(2, \frac{3}{2})$

Axe de symétrie : $y = \frac{3}{2}$

Directrice : $x = \frac{3}{2}$

Étape 10