Pré-calcul Exemples

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y - 89 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $89$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $16 x^{2} - 64 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 32}{16}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 64$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4096$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Étape 1.3

Remplacez $16 x^{2} - 64 x$ par $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ dans l’équation $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} - 18 y = 89$

Étape 1.4

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 18 y = 89 + 64$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} - 18 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $324$ par $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$e = 9$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ .

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$

Étape 1.6

Remplacez $- 9 y^{2} - 18 y$ par $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ dans l’équation $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} + 9 = 89 + 64$

Étape 1.7

Déplacez $9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 89 + 64 - 9$

Étape 1.8

Simplifiez $89 + 64 - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez $89$ et $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 153 - 9$

Étape 1.8.2

Soustrayez $9$ de $153$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 144$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(5, - 1), (- 1, - 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(7, - 1)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - 1)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(7, - 1), (- 3, - 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 2}{3} - 1$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8}{3} - 1$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 3}{3}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $3$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 11}{3}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3}) - 1$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} - 1$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 3}{3}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, - 1)$

Sommets : $(5, - 1), (- 1, - 1)$

Foyers : $(7, - 1), (- 3, - 1)$

Excentricité : $\frac{5}{3}$

Paramètre focal : $\frac{16}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 15