Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 14$

$b = 11$

$k = 8$

$h = - 4$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 4, 8)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{196 - {(11)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{196 - 1 \cdot 121}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $121$ .

$\sqrt{196 - 121}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $121$ de $196$ .

$\sqrt{75}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\sqrt{25 (3)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$5 \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 4, 8 + 14)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(- 4, 22)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 4, 8 - (14))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 4, - 6)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 4, 8 - (5 \sqrt{3}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}}{14}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 11^{2}}}{14}$

Étape 8.3.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 1 \cdot 121}}{14}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $121$ .

$\frac{\sqrt{196 - 121}}{14}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $121$ de $196$ .

$\frac{\sqrt{75}}{14}$

Étape 8.3.5

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{14}$

Étape 8.3.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{14}$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 4, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Excentricité : $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Étape 10