Pré-calcul Exemples

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - 6)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(3, 2), (3, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 3)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - 7)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(3, 3), (3, - 7)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Étape 8.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Étape 11.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

Étape 11.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

Étape 12.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Étape 12.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Étape 12.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

Étape 12.2.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

Étape 12.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(3, - 2)$

Sommets : $(3, 2), (3, - 6)$

Foyers : $(3, 3), (3, - 7)$

Excentricité : $\frac{5}{4}$

Paramètre focal : $\frac{9}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3} - 6$ , $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Étape 15