Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 16 y + 57 = 0$

Étape 1

Soustrayez $57$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 16 y = - 57$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x + 16 y = - 57$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + 16 y = - 57$

Étape 4

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + 16 y = - 57 + 9$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 16 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$d = 8$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $256$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 8)}^{2} - 64$ .

${(y + 8)}^{2} - 64$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 16 y$ par ${(y + 8)}^{2} - 64$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x + 16 y = - 57$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 8)}^{2} - 64 = - 57 + 9$

Étape 7

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = - 57 + 9 + 64$

Étape 8

Simplifiez $- 57 + 9 + 64$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 57$ et $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = - 48 + 64$

Étape 8.2

Additionnez $- 48$ et $64$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 16$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 4$

$h = 3$

$k = - 8$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(3, - 8)$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(3, - 8)$

Rayon : $4$

Étape 13