Pré-calcul Exemples

$\sum_{i = 1}^{11} 5 \cdot 2^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $2^{i + 1}$ et $2^{i}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2^{i}$ à partir de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$r = 2$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $5 \cdot 2^{i}$ .

$a = 5 \cdot 2^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Évaluez l’exposant.

$a = 5 \cdot 2$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$a = 10$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$10 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $11$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2048$ .

$10 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $2048$ de $1$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$10 (\frac{- 2047}{- 1})$

Étape 5.3

Divisez $- 2047$ par $- 1$ .

$10 \cdot 2047$

Étape 5.4

Multipliez $10$ par $2047$ .

$20470$