Pré-calcul Exemples

${(1 + \frac{1}{x})}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{5} \frac{5!}{(5 - k)! k!} \cdot {(1)}^{5 - k} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{5!}{(5 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{5 - 0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + \frac{5!}{(5 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{5 - 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \dots + \frac{5!}{(5 - 5)! 5!} \cdot {(1)}^{5 - 5} \cdot {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(1)}^{5} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

$1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}$