Pré-calcul Exemples

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(- \cos (x))}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \cos (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \cos (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \cos^{0} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.5

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.7

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.8

Simplifiez

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.9

Simplifiez

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cdot (- \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.10

Remettez dans l’ordre $2 \sin (x)$ et $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cdot (2 \sin (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.11

Ajoutez des parenthèses.

$\sin^{2} (x) - (\cos (x) \cdot (2 \sin (x))) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.12

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (2 \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.13

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.14

Multipliez $\sin^{0} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.15

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.16

Multipliez ${(- \cos (x))}^{2}$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \cos (x))}^{2}$

Étape 4.1.1.17

Appliquez la règle de produit à $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Étape 4.1.1.18

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cos^{2} (x)$

Étape 4.1.1.19

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{2} (x)$

Étape 4.1.2

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Étape 4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - \sin (2 x)$