Pré-calcul Exemples

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $4$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 3.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$\frac{2 π}{3}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

Déphasage : $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

Déphasage : $\frac{π}{9}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $4$

Période : $\frac{2 π}{3}$

Déphasage : $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ à droite)

Décalage vertical : $1$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{9}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.1.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Étape 6.1.2.1.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Étape 6.1.2.1.4

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Étape 6.1.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 6.1.2.1.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{18}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{18}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Étape 6.2.2.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Étape 6.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.2.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Étape 6.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Étape 6.2.2.1.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{4 π}{9}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.3

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Étape 6.3.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Étape 6.3.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Étape 6.3.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 6.3.2.1.7

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{11 π}{18}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11 π}{18}$ dans l’expression.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Étape 6.4.2.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Étape 6.4.2.1.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 6.4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Étape 6.4.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Étape 6.4.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Étape 6.4.2.1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Étape 6.4.2.1.9

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Étape 6.4.2.1.9.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{7 π}{9}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.3

Soustrayez $π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Étape 6.5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Étape 6.5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Étape 6.5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Étape 6.5.2.1.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Étape 6.5.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Étape 6.5.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 6.5.2.1.7

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $4$

Période : $\frac{2 π}{3}$

Déphasage : $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ à droite)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Étape 8