Pré-calcul Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Étape 1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.1.1.3.2.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{13}{2}$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, - 6)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 1$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - 7$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - \frac{13}{2})$

Foyer : $(1, - 6)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - 7$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - \frac{13}{2})$

Foyer : $(1, - 6)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - 7$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.1.1

Écrivez $- (0)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\frac{- (0)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{- (0)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Étape 3.2.1.4

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $- (0) \cdot 2$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez $0$ par $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Étape 3.2.4.3

Divisez $- 12$ par $2$ .

$f (0) = - 6$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.1.1

Écrivez $- (- 1)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $\frac{- (- 1)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $\frac{- (- 1)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Étape 3.5.1.4

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.5.1.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3.2

Multipliez $- (- 1) \cdot 2$ .

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Étape 3.5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Étape 3.5.4.2

Soustrayez $12$ de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Étape 3.5.5

La réponse finale est $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.8.1.1

Écrivez $- (2)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $\frac{- (2)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $\frac{- (2)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Étape 3.8.1.4

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.8.1.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.8.1.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.8.3.2

Multipliez $- (2) \cdot 2$ .

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Étape 3.8.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.8.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.8.3.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Étape 3.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Étape 3.8.4.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Étape 3.8.4.3

Divisez $- 12$ par $2$ .

$f (2) = - 6$

Étape 3.8.5

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.11.1.1

Écrivez $- (4)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $\frac{- (4)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Étape 3.11.1.3

Multipliez $\frac{- (4)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Étape 3.11.1.4

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.11.1.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.11.1.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.3.2

Multipliez $- (4) \cdot 2$ .

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Étape 3.11.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.3.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Étape 3.11.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.4.1

Soustrayez $8$ de $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Étape 3.11.4.2

Soustrayez $12$ de $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Étape 3.11.4.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$f (4) = - 2$

Étape 3.11.5

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(1, - \frac{13}{2})$

Foyer : $(1, - 6)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Étape 5