Pré-calcul Exemples

$y = - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{3} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez la période de $- \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 3.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 \cdot 3$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $3$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $6 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{0}{3})}{3}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (0)}{3})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{0}{1})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{\cos (0)}{3}$

Étape 6.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 0$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{3})}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 π) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{3})}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (3 π) = - \frac{\cos (π)}{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (3 π) = - \frac{- \cos (0)}{3}$

Étape 6.3.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Étape 6.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1}{3}$

Étape 6.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3 π) = \frac{1}{3}$

Étape 6.3.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{9 π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 6.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{3}$

Étape 6.4.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 6.4.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{0}{3}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 0$

Étape 6.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 0$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 6 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6 π$ dans l’expression.

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{6 π}{3})}{3}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{3}$

Étape 6.5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{3}$

Étape 6.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{3}$

Étape 6.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{2 π}{1})}{3}$

Étape 6.5.2.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (2 π)}{3}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (0)}{3}$

Étape 6.5.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (6 π) = - \frac{1}{3}$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & \frac{1}{3} \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & - \frac{1}{3} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $6 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & \frac{1}{3} \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & - \frac{1}{3} \end{array}$

Étape 8