Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$

Étape 1

Factorisez $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Étape 1.3

Remplacez $0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.2

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.4

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.6

Additionnez $0.\overline{1}$ et $0.\overline{2}$ .

$0.\overline{3} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 19$ par $0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 6.33333333 + 6$

Étape 1.3.8

Soustrayez $6.33333333$ de $0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6}{3 x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ par $3 x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$6$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x + 6$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 6$

Étape 1.6

Écrivez $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (3 x - 1) (x^{2} + x - 6)$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (3 x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (3 x - 1) (x - 2) (x + 3)$