Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} + 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 4)}^{2} - 16$ .

${(x + 4)}^{2} - 16$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} + 8 x$ par ${(x + 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

Étape 1.4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 3 y^{2} - 6 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $36$ par $- 12$ .

$e = 0 - - 3$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$e = 0 + 3$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$e = 3$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

Étape 1.6

Remplacez $- 3 y^{2} - 6 y$ par $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ dans l’équation $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

Étape 1.7

Déplacez $3$ du côté droit de l’équation en ajoutant $3$ des deux côtés.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

Étape 1.8

Simplifiez $- 4 + 16 - 3$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 4$ et $16$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

Étape 1.8.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 4, - 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{9 + 3}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $3$ .

$\sqrt{12}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 7, - 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

Étape 8.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à ${\sqrt{3}}^{2}$ et $\sqrt{3}$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $\sqrt{3}$ à partir de ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $\sqrt{3}$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Étape 11.2.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

Étape 11.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Étape 12.2.4

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 12.2.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 12.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 4, - 1)$

Sommets : $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Foyers : $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Excentricité : $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 15