Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y - 12 = 0$

Étape 1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Étape 2

Complétez le carré pour $4 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 24$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (4)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $576$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36$

Étape 3

Remplacez $4 x^{2} + 24 x$ par $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ dans l’équation $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36 + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Étape 4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 12 + 36$

Étape 5

Complétez le carré pour $16 y^{2} - 32 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{16}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $16$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

Étape 6

Remplacez $16 y^{2} - 32 y$ par $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ dans l’équation $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 12 + 36$

Étape 7

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 12 + 36 + 16$

Étape 8

Simplifiez $12 + 36 + 16$ .

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Étape 8.1

Additionnez $12$ et $36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 48 + 16$

Étape 8.2

Additionnez $48$ et $16$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 64$

Étape 9

Divisez chaque terme par $64$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$