Pré-calcul Exemples

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y + 64 = 0$

Étape 1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y = - 64$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} + 6 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 3)}^{2} - 9$ .

${(x + 3)}^{2} - 9$

Étape 4

Remplacez $x^{2} + 6 x$ par ${(x + 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Étape 5

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9} + 9$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{3}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 6.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 6.4.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ par ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ dans l’équation $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = - \frac{64}{9} + 9$

Étape 8

Déplacez $- \frac{1}{9}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{9}$ des deux côtés.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$

Étape 9

Simplifiez $- \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 64 + 1}{9}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 64$ et $1$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 63}{9}$

Étape 9.2.2

Divisez $- 63$ par $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 - 7$

Étape 9.2.3

Soustrayez $7$ de $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 2$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \sqrt{2}$

$h = - 3$

$k = \frac{1}{3}$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- 3, \frac{1}{3})$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- 3, \frac{1}{3})$

Rayon : $\sqrt{2}$

Étape 14