Pré-calcul Exemples

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $44$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $25 x^{2} - 100 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 100$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 50}{25}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Étape 1.3

Remplacez $25 x^{2} - 100 x$ par $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ dans l’équation $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

Étape 1.4

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $9 y^{2} + 54 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{27}{9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Étape 1.6

Remplacez $9 y^{2} + 54 y$ par $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

Étape 1.7

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

Étape 1.8

Simplifiez $44 + 100 + 81$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez $44$ et $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

Étape 1.8.2

Additionnez $144$ et $81$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 3 + 5)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(2, 2)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 3 - (5))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(2, - 8)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 3 + 4)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(2, 1)$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 3 - (4))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(2, - 7)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Étape 8.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{5}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Excentricité : $\frac{4}{5}$

Étape 10