Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{16}})$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{8 (2)}})$

Étape 1.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}})$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}})$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt[3]{2}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Étape 3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2 \cdot 2})$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{2 \cdot 2})$

Étape 5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{4})$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$ comme $\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1}$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$

Étape 7

Réécrivez $\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$ comme $\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Étape 8

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - \log_{4} (4)$

Étape 9

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1 \cdot 1$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1$

Étape 11

Réécrivez $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 11.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 11.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.\overline{6}$