Pré-calcul Exemples

$- \frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ , $- \frac{1}{12}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = - \frac{1}{3}$ et $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{1}{3} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{1}{3} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.2

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1}$ par $- 1$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $n - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n}$ et $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3} \cdot \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 7

Associez.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de ${(- 1)}^{n}$ .

$a_{n} = \frac{- {(- 1)}^{n - 1} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.2

Réécrivez $- {(- 1)}^{n - 1}$ comme $- 1 {(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.3

Réécrivez $1^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1}$ comme ${(1 \cdot - 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(1 \cdot - 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{n - 1}$ .

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Étape 10.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{1 + n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 10.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 0}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$