Pré-calcul Exemples

$\sum_{i = 1}^{8} 7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ et ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ à partir de ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{7}{10}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{10}$ .

$a = 7 \frac{7^{0}}{10^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 7 \frac{1}{10^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = 7 \cdot 1$

Étape 3.2.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$a = 7$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$7 \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$ par $\frac{10}{10}$ .

$7 (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$7 \frac{10 (1 - {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{7}{10})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{7}{10})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{10}$ dans le numérateur.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$7 \frac{10 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{10}$ .

$7 \frac{10 + 10 (- \frac{7^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7^{8}}{10^{8}}$ dans le numérateur.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $10$ à partir de $10^{8}$ .

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{10 + \frac{- 7^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.4

Élevez $7$ à la puissance $8$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.5

Élevez $10$ à la puissance $7$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $5764801$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 \frac{10 - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.9

Associez $10$ et $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $10$ par $10000000$ .

$7 \frac{\frac{100000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $5764801$ de $100000000$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 - 7}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $7$ de $10$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{3}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$7 (\frac{94235199}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $3$ à partir de $94235199$ .

$7 (\frac{3 (31411733)}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$7 (\frac{3 \cdot 31411733}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$7 (\frac{31411733}{10000000})$

Étape 5.8

Multipliez $7 (\frac{31411733}{10000000})$ .

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Étape 5.8.1

Associez $7$ et $\frac{31411733}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 31411733}{10000000}$

Étape 5.8.2

Multipliez $7$ par $31411733$ .

$\frac{219882131}{10000000}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{219882131}{10000000}$

Forme décimale :

$21.9882131$

Forme de nombre mixte :

$21 \frac{9882131}{10000000}$