Pré-calcul Exemples

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Étape 2.1.2

Développez $(x - 2) (9 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $9 x$ et $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Étape 2.2

Réécrivez $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Étape 2.3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Étape 2.3.3

Soustrayez $10$ de $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Étape 2.3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $11 x - x^{2} - 28$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $11 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Étape 2.3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Étape 2.3.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $- 28$ comme $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Étape 2.3.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Étape 2.3.4.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Étape 2.3.4.2

Factorisez.

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

Étape 2.3.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Étape 2.3.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Étape 2.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.6

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.6.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.3.6.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.3.7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 7) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 7, 4$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (11 x - x^{2} - 18)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $11 x - x^{2} - 18$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $11 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Étape 3.2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Étape 3.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Étape 3.2.2.1.4

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Étape 3.2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Étape 3.2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 9, - 2$

Étape 3.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Étape 3.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Étape 3.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.4

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 3.2.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 3.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 9) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 9, 2$

Étape 3.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Étape 3.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Étape 3.2.8.1.3

Le côté gauche $- 18$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 3.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Étape 3.2.8.2.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 3.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Étape 3.2.8.3.3

Le côté gauche $- 30$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Étape 3.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 9$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(2, 9)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0.77815125$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $1.07918124$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $7 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $7 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $0.77815125$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 5.5.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Étape 5.5.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.5.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 7$ Faux

$7 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 7$ Faux

$7 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 4$ ou $7 < x < 9$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Notation d’intervalle :

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Étape 8