Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x) + \log_{5} (x - 4) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (x - 4)) = 1$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 4 x = 5^{1}$ .

$x^{2} - 4 x = 5$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x) + \log_{5} (x - 4) = 1$ vrai.

$x = 5$