Pré-calcul Exemples

$10 \sin^{2} (x) = 10 + 5 \cos (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$10 \sin^{2} (x) - 10 = 5 \cos (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $5 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez $10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Remettez dans l’ordre $10 \sin^{2} (x)$ et $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10$ .

$- 10 (1) + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $- 10$ à partir de $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 10 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$- 10 u^{2} - 5 u = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $5 u$ à partir de $- 10 u^{2} - 5 u$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $5 u$ à partir de $- 10 u^{2}$ .

$5 u (- 2 u) - 5 u = 0$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $5 u$ à partir de $- 5 u$ .

$5 u (- 2 u) + 5 u (- 1) = 0$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u (- 2 u) + 5 u (- 1)$ .

$5 u (- 2 u - 1) = 0$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

Définissez $- 2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $- 2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos (x) = 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.4.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 3.4.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 3.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 3.4.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$