Pré-calcul Exemples

$y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Étape 1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{5}$ .

$y^{3} y^{2} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Étape 1.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- 18 y^{4}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + 6 y^{3} = 0$

Étape 1.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $6 y^{3}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y)$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y^{3} = 0$

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Étape 3

Définissez $y^{3}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez $y^{3}$ égal à $0$ .

$y^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $y^{3} = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$y = 0$

Étape 4

Définissez $y^{2} - 18 y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $y^{2} - 18 y + 6$ égal à $0$ .

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $y^{2} - 18 y + 6 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 18$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $324$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $300$ comme $10^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 9 \pm 5 \sqrt{3}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$ vraie.

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$y = 0, 17.66025403 \dots, 0.33974596 \dots$