Pré-calcul Exemples

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez $(x - 2) (2 x + 1)$ .

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.3

Développez $(x - 2) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.1.4.2

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez $(x + 2) (x - 1)$ .

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Étape 4.2.2.1

Développez $(x + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Étape 4.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Étape 4.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Étape 4.2.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Étape 4.2.3.4

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Étape 4.2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Étape 4.2.5.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Étape 4.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Étape 4.2.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Étape 4.2.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Étape 4.2.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.2.8

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.9

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.9.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2.9.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ vrai.

$x = 4$