Pré-calcul Exemples

$\cot (x) \cos^{2} (x) = 2 \cot (x)$

Étape 1

Soustrayez $2 \cot (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.2.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.1.4

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.4

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.5

Séparez les fractions.

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = 0$

Étape 2.2.6

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \cot (x)) = 0$

Étape 2.2.7

Divisez $2$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (2 \cot (x)) = 0$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $- 2 \cot (x)$ .

$\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2$ .

$\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 5

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos^{2} (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos^{2} (x) - 2$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos^{2} (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) = 2$

Étape 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 6.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

Étape 6.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Étape 6.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 6.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Étape 6.2.5

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 6.2.5.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\sqrt{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6.2.6

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 6.2.6.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \sqrt{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$