Pré-calcul Exemples

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 10$ par $8$ .

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

Étape 4.1.7

Multipliez $40$ par $2$ .

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $80$ de $48$ .

$- 32 - 36 + 80 - 12$

Étape 4.2.2

Soustrayez $36$ de $- 32$ .

$- 68 + 80 - 12$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 68$ et $80$ .

$12 - 12$

Étape 4.2.4

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 17)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 34)$ sous le terme suivant dans le dividende $(40)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(6)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.4

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $- 4$ par $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.6

Soustrayez $0.\overline{4}$ de $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $- 17$ par $0.\overline{3}$ .

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

Étape 7.1.1.3.8

Soustrayez $5.\overline{6}$ de $- 0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Étape 7.1.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ par $3 x - 1$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 6$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 7.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 7.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ .

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

Étape 10