Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 17$ par $- 1$ .

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.6

Multipliez $35$ par $1$ .

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

Étape 4.1.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $2$ et $17$ .

$19 + 35 - 9 - 45$

Étape 4.2.2

Additionnez $19$ et $35$ .

$54 - 9 - 45$

Étape 4.2.3

Soustrayez $9$ de $54$ .

$45 - 45$

Étape 4.2.4

Soustrayez $45$ de $45$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 17)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 19)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(19)$ sous le terme suivant dans le dividende $(35)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(54)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 54)$ sous le terme suivant dans le dividende $(9)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 45)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(45)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 45)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $27$ .

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $- 19$ par $9$ .

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.6

Soustrayez $171$ de $54$ .

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $54$ par $3$ .

$- 117 + 162 - 45$

Étape 7.1.1.3.8

Additionnez $- 117$ et $162$ .

$45 - 45$

Étape 7.1.1.3.9

Soustrayez $45$ de $45$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ par $x - 3$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 13 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 13 x^{2} + 39 x$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x - 45$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 3$ plus $- 10$

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

Étape 7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

Étape 7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Étape 7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ .

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

Étape 10